Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz assim:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos todos os termos por 3:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a transformar a equação em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, vamos precisar usar a técnica de integração por partes ou uma fórmula de integração para produtos de exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito usando a fórmula:
Aqui,
e
. Aplicando a fórmula:
Simplificando os denominadores e os coeficientes:
Passo 7
Voltando à equação original depois da integração:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.
Suponha que a população da Terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante
(1650 d.C.) a população da Terra era de
600 milhões de habitantes e que no instante
(1950 d.C.) era de 2,8 bilhões
.
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes , quando será atingido este limite?
600 milhões de habitantes
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.