Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz assim: . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Vamos usar a matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos todos os termos por 3:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a transformar a equação em uma forma que podemos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, vamos precisar usar a técnica de integração por partes ou uma fórmula de integração para produtos de exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito usando a fórmula:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:
Simplificando os denominadores e os coeficientes:

Passo 7

Voltando à equação original depois da integração:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Verifique se a função é solução da equação diferencial.
Suponha que a população da Terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante (1650 d.C.) a população da Terra era de
600 milhões de habitantes e que no instante (1950 d.C.) era de 2,8 bilhões .
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes , quando será atingido este limite?
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
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