Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e também para classificá-la. Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem para resolver isso. Precisaremos encontrar um fator integrante para simplificar a equação e chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante para uma equação linear de primeira ordem é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Essa integral pode ser resolvida fazendo uma substituição simples. Se deixar
, então
. Assim, a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Além disso, a equação é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem.