Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
y' + 2t/(1+t^2) y = 1/(1+t^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e também para classificá-la. Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem para resolver isso. Precisaremos encontrar um fator integrante para simplificar a equação e chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante para uma equação linear de primeira ordem é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Essa integral pode ser resolvida fazendo uma substituição simples. Se deixar , então . Assim, a integral fica:
Desconsiderando a constante de integração, temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Além disso, a equação é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Exercícios relacionados