Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias de 1^aa ordem.
dy/dt + 2/t y = t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação que temos é:
A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que, quando multiplicamos toda a equação por ele, facilita a resolução.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Então, nosso fator integrante é .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
A ideia é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto .

Passo 5

Vamos verificar isso. A derivada do produto é:
Perfeito! Isso coincide com o que temos no lado esquerdo da equação após a multiplicação. Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(y ln |y| - e^(-x y)) dx + (1/y + x ln |y|) dy = 0
Seja f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^2; 1 se 0 < y < x^2 }
Apesar disso, mostre que f é descontínua em (0,0).
A função incógnita, solução de uma Equação Diferencial Ordinária, é sempre constante
( ) Verdadeiro
() Falso
A EDO ddot(y)(t) - dot(y) = e^t é de segundo grau linear não homogênea
( ) Verdadeiro
( ) Falso