Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias de
ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. A equação que temos é:
A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que, quando multiplicamos toda a equação por ele, facilita a resolução.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Então, nosso fator integrante é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
A ideia é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto
.
Passo 5
Vamos verificar isso. A derivada do produto
é:
Perfeito! Isso coincide com o que temos no lado esquerdo da equação após a multiplicação. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Seja
Apesar disso, mostre que é descontínua em
.
Apesar disso, mostre que
A função incógnita, solução de uma Equação Diferencial Ordinária, é sempre constante
( ) Verdadeiro
() Falso
( ) Verdadeiro
() Falso
A EDO
é de segundo grau linear não homogênea
( ) Verdadeiro
( ) Falso
( ) Verdadeiro
( ) Falso