Resolva os problemas de valor inicial:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Isso envolve matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termos forçados. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para o termo forçado.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, procuramos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), a equação característica fica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Isso pode ser fatorado como:
Portanto, temos uma raiz real dupla . Isso significa que a solução homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:

Passo 6

Simplificamos a equação:
Isso resulta em:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos e de ambos os lados:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: =>
Substituindo na segunda equação:
E então:

Passo 8

Agora temos a solução particular:

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 11

Agora, derivamos para aplicar :
Simplificando em :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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