Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Isso envolve matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termos forçados. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para o termo forçado.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, procuramos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), a equação característica fica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Isso pode ser fatorado como:
Portanto, temos uma raiz real dupla
. Isso significa que a solução homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 6
Simplificamos a equação:
Isso resulta em:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos
e
de ambos os lados:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
=>
Substituindo na segunda equação:
E então:
Passo 8
Agora temos a solução particular:
Passo 9
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 11
Agora, derivamos
para aplicar
:
Simplificando em
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)
(f)
Resolva os problemas de valor inicial:
©
©
Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)