Resolva os problemas de valor inicial:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, ajustar essas soluções às condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo esse polinômio quadrático, encontramos os valores de . Essa etapa nos ajuda a encontrar a solução geral da equação homogênea.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então, os valores de são:

Passo 4

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Vamos supor que seja um polinômio da forma e determinar os coeficientes , e .

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes de cada potência de :
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar os valores de e .

Passo 7

Aplicando :
çã
Agora, calculando :
Aplicando :
çã

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações (Equação 1 e Equação 2):
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Então,

Resposta

A solução que satisfaz a equação diferencial dada e as condições iniciais é:

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Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
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