Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada, uma solução particular da equação completa e, por fim, ajustar essas soluções às condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo esse polinômio quadrático, encontramos os valores de
. Essa etapa nos ajuda a encontrar a solução geral da equação homogênea.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Vamos supor que
seja um polinômio da forma
e determinar os coeficientes
,
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes de cada potência de
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Aplicando
:
Agora, calculando
:
Aplicando
:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações (Equação 1 e Equação 2):
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Então,
Resposta
A solução que satisfaz a equação diferencial dada e as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equaçōes:
(f)
(f)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(b) .
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
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