Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
d y/d t = y - y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial separável aí: . Isso significa que a gente pode separar os termos que envolvem dos que envolvem pra resolver mais fácil. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra separar e . A gente pode colocar todos os termos de de um lado e do outro:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda é um pouco complicada, mas a gente pode usar frações parciais pra facilitar. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então,
Agora, a gente integra:

Passo 4

Vamos fazer as integrações:
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Agora, vamos tirar o logaritmo:
Aqui, ainda é uma constante.

Passo 6

Resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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