Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial separável aí: . Isso significa que a gente pode separar os termos que envolvem dos que envolvem pra resolver mais fácil. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra separar e . A gente pode colocar todos os termos de de um lado e do outro:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda é um pouco complicada, mas a gente pode usar frações parciais pra facilitar. Vamos decompor :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então,
Agora, a gente integra:

Passo 4

Vamos fazer as integrações:
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Agora, vamos tirar o logaritmo:
Aqui, ainda é uma constante.

Passo 6

Resolver para :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante .