Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial separável aí:
. Isso significa que a gente pode separar os termos que envolvem
dos que envolvem
pra resolver mais fácil. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra separar
e
. A gente pode colocar todos os termos de
de um lado e
do outro:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda é um pouco complicada, mas a gente pode usar frações parciais pra facilitar. Vamos decompor
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para :
Para :
Então,
Para
Para
Então,
Agora, a gente integra:
Passo 4
Vamos fazer as integrações:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Agora, vamos tirar o logaritmo:
Aqui,
ainda é uma constante.
Passo 6
Resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante
.
Utilizando a informação de que