Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
de cada lado da equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação das variáveis. Vamos reescrever a equação original:
Vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador do lado direito:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis. Vamos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 7
Vamos resolver as integrais:
Integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos a integração por partes, onde:
Então,
Integrando
:
Então, a integral fica:
Integral do lado direito:
Passo 8
Igualando as integrais:
Onde
é a constante de integração geral.
Passo 9
Podemos simplificar a expressão final se quisermos, mas normalmente deixamos nesse formato. Portanto, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.
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