Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e de cada lado da equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a separação das variáveis. Vamos reescrever a equação original:
Vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador do lado direito:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis. Vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar de um lado e do outro.

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 7

Vamos resolver as integrais:
Integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos a integração por partes, onde:
Então,
Integrando :
Então, a integral fica:
Integral do lado direito:

Passo 8

Igualando as integrais:
Onde é a constante de integração geral.

Passo 9

Podemos simplificar a expressão final se quisermos, mas normalmente deixamos nesse formato. Portanto, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é a constante de integração.

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