Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial que precisa ser resolvida. A equação é:
Vamos utilizar separação de variáveis para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
A equação diferencial dada é
. Vamos reescrever isso como:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração vai nos ajudar a encontrar a função
.
Passo 5
Calculando as integrais:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, precisamos isolar essa variável. Vamos aplicar a função tangente dos dois lados da equação:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial dada:
. Substituindo
e
na solução geral:
Sabemos que
, então:
Isso implica que
(considerando o menor valor positivo).
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante
.
Utilizando a informação de que
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.