Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial que precisa ser resolvida. A equação é:
Vamos utilizar separação de variáveis para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

A equação diferencial dada é . Vamos reescrever isso como:
Nosso objetivo é separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração vai nos ajudar a encontrar a função .

Passo 5

Calculando as integrais:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , precisamos isolar essa variável. Vamos aplicar a função tangente dos dois lados da equação:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial dada: . Substituindo e na solução geral:
Sabemos que , então:
Isso implica que (considerando o menor valor positivo).

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante .
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.