Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
y' = 4(y^2 + 1), y(pi/4) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial que precisa ser resolvida. A equação é:
Vamos utilizar separação de variáveis para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

A equação diferencial dada é . Vamos reescrever isso como:
Nosso objetivo é separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integração vai nos ajudar a encontrar a função .

Passo 5

Calculando as integrais:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , precisamos isolar essa variável. Vamos aplicar a função tangente dos dois lados da equação:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial dada: . Substituindo e na solução geral:
Sabemos que , então:
Isso implica que (considerando o menor valor positivo).

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados