Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
{ dy/dx = x^2/(1+y^2) ; y(2) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a derivada de em relação a com e em si. A nossa missão é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis e .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com de um lado e os com do outro. Multiplicamos ambos os lados por e por :
Agora, as variáveis estão separadas, o que nos permite integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 5

Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 7

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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