Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a derivada de
em relação a
com
e
em si. A nossa missão é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a técnica de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com
de um lado e os com
do outro. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Agora, as variáveis estão separadas, o que nos permite integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: