Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial, que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
Isso significa que a gente quer encontrar uma função que, quando derivada, dá , e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde a gente pode separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e na equação diferencial. Isso significa que a gente quer colocar todos os termos com de um lado e com do outro lado. A equação que a gente tem é:
Lembrando que é a derivada de em relação a , que podemos escrever como . Então, a equação fica:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A gente vai integrar em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito. Então:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
Isso é direto. A gente integra termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos para a integral do lado direito:
Para resolver essa integral, podemos usar o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 8

Com o valor de encontrado, a solução geral da equação fica:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a do valor inicial.
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: