Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um problema de valor inicial, que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
Isso significa que a gente quer encontrar uma função que, quando derivada, dá , e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde a gente pode separar os termos que envolvem dos que envolvem .
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e na equação diferencial. Isso significa que a gente quer colocar todos os termos com de um lado e com do outro lado. A equação que a gente tem é:
Lembrando que é a derivada de em relação a , que podemos escrever como . Então, a equação fica:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A gente vai integrar em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito. Então:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Vamos começar com a integral do lado esquerdo:
Isso é direto. A gente integra termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos para a integral do lado direito:
Para resolver essa integral, podemos usar o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, igualamos as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Passo 8
Com o valor de encontrado, a solução geral da equação fica:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.