Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso envolve o assunto de equações separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis e para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integração para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de separar as variáveis. A equação original é:
Podemos reescrever como , então temos:

Passo 3

Agora, vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Assim, conseguimos separar as variáveis e de cada lado da igualdade.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a no lado esquerdo e em relação a no lado direito:
A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
No lado esquerdo:
No lado direito, usamos a técnica de integração por partes, onde e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Para deixar a solução mais organizada, podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Ou, rearranjando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a do valor inicial.
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: