Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve o assunto de equações separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integração para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de separar as variáveis. A equação original é:
Podemos reescrever
como
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Assim, conseguimos separar as variáveis
e
de cada lado da igualdade.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
No lado esquerdo:
No lado direito, usamos a técnica de integração por partes, onde
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Para deixar a solução mais organizada, podemos multiplicar ambos os lados por -1:
Ou, rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a
do valor inicial.
Determine o instante de tempo
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: