Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo equação separável. O enunciado é:
A matéria que vamos usar envolve diferenciação e integração, especialmente lidando com equações que podem ser separadas em partes que dependem apenas de e apenas de . Vamos precisar rearranjar a equação para separar essas variáveis e depois integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, temos a derivada de em relação a :
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, cada lado da equação depende apenas de uma variável.

Passo 5

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação:
A integral de é e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
O que simplifica para:
Como é apenas uma constante multiplicativa, podemos renomeá-la como . Além disso, podemos absorver o valor absoluto na constante, então:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .
(1,5 ponto) Considere a superfície . O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: