Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo equação separável. O enunciado é:
A matéria que vamos usar envolve diferenciação e integração, especialmente lidando com equações que podem ser separadas em partes que dependem apenas de
e apenas de
. Vamos precisar rearranjar a equação para separar essas variáveis e depois integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação original é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, temos a derivada de
em relação a
:
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração.
Passo 4
Vamos separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora, cada lado da equação depende apenas de uma variável.
Passo 5
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação:
A integral de
é
e a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
O que simplifica para:
Como
é apenas uma constante multiplicativa, podemos renomeá-la como
. Além disso, podemos absorver o valor absoluto na constante, então:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em
(1,5 ponto) Considere a superfície
. O plano
intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em
.
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: