(1,5 ponto) Considere a superfície . O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos uma superfície definida por e um plano dado por . A interseção desses dois gera uma curva. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano. Como o plano é , substituímos esse valor na equação da superfície:
Assim, a curva de interseção é descrita por e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interesse é .
Passo 4
Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Avaliando em :
Passo 5
Com a derivada calculada, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem direção dada pela derivada . Portanto, a equação paramétrica da reta é: