(1,5 ponto) Considere a superfície . O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos uma superfície definida por e um plano dado por . A interseção desses dois gera uma curva. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação da curva de interseção entre a superfície e o plano. Como o plano é , substituímos esse valor na equação da superfície:
Assim, a curva de interseção é descrita por e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interesse é .

Passo 4

Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Avaliando em :

Passo 5

Com a derivada calculada, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem direção dada pela derivada . Portanto, a equação paramétrica da reta é:

Resposta

A equação da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de , a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: