(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z) = 5 x^2 - 3 x y + x y z.
a. Determine a taxa de variação do potencial em P(1, 0, -1) na direção do vetor v = i + j - k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente do potencial e depois projetá-lo na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos derivar cada termo:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo , , e :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor . A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação do potencial no ponto na direção do vetor é .

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