(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente do potencial e depois projetá-lo na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos derivar cada termo:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo , , e :

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor . A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação do potencial no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

(1,5 ponto) Considere a superfície . O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de , a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial: