(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em
na direção do vetor
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação do potencial elétrico
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente do potencial e depois projetá-lo na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Vamos derivar cada termo:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo
,
, e
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor
. A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação do potencial no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
(1,5 ponto) Considere a superfície
. O plano
intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em
.
Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de
, a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial: