Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
{ y' tg(x) = y, y(pi/6) = -1/2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e entender como aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Podemos rearranjar essa equação para isolar :
Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Onde .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Essa separação facilita a integração de ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é , e a integral de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante , então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . A condição dada é:
Substituindo na solução geral:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A solução do problema é:

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