Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e entender como aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Podemos rearranjar essa equação para isolar
:
Sabemos que
, então podemos reescrever a equação como:
Onde
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Essa separação facilita a integração de ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. A condição dada é:
Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor
.
a. Determine a taxa de variação do potencial em
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a
do valor inicial.
Determine o instante de tempo