Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e entender como aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Podemos rearranjar essa equação para isolar :
Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Onde .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Essa separação facilita a integração de ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é , e a integral de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante , então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . A condição dada é:
Substituindo na solução geral:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
(2,5 pontos) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor .
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a do valor inicial.