Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
y' = x*y / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que envolve aqui é equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo com respeito a e o lado direito com respeito a :

Passo 5

Resolvendo as integrações:
  • A integral de é .
  • Para a integral de , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Juntando os resultados das integrações:

Passo 7

Para isolar , exponenciamos ambos os lados:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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