Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que envolve aqui é equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo com respeito a
e o lado direito com respeito a
:
Passo 5
Resolvendo as integrações:
- A integral de
é . - Para a integral de
, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Juntando os resultados das integrações:
Passo 7
Para isolar
, exponenciamos ambos os lados:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo para que a massa se reduza a
do valor inicial.
Determine o instante de tempo
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir: