Seja Q(t) a massa em gramas de um determinado material em cada instante t (em minutos). Sabe-se que a função Q(t) satisfaz a seguinte equação diferencial
dQ/dt = -k Q
onde k é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu 5 % do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo T para que a massa se reduza a 20 percento do valor inicial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a massa, em gramas, de um material ao longo do tempo em minutos. A função satisfaz a equação diferencial , onde é uma constante positiva. Inicialmente, temos 40 gramas do material, e após 15 minutos, a massa diminui 5% desse valor inicial. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo a massa será reduzida para 20% do valor inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam o decaimento exponencial. Vamos seguir passo a passo para encontrar a resposta.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação diferencial dada: . Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis, comum em processos de decaimento exponencial. Para resolver, separamos as variáveis e :

Passo 3

Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma nova constante :

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, a função se torna:

Passo 6

Usamos a informação de que após 15 minutos, a massa é 95% do valor inicial:
Substituindo na equação:

Passo 7

Resolvemos para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando :

Passo 8

Agora, queremos encontrar o tempo para que a massa seja 20% do valor inicial:
Substituindo na equação:

Passo 9

Resolvemos para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Substituindo o valor de :

Resposta

O instante de tempo necessário para que a massa se reduza a 20% do valor inicial é aproximadamente 470,4 minutos.

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