Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Determine o instante de tempo
para que a massa se reduza a
do valor inicial.
Determine o instante de tempo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa a massa, em gramas, de um material ao longo do tempo
em minutos. A função satisfaz a equação diferencial
, onde
é uma constante positiva. Inicialmente, temos 40 gramas do material, e após 15 minutos, a massa diminui 5% desse valor inicial. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo
a massa será reduzida para 20% do valor inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam o decaimento exponencial. Vamos seguir passo a passo para encontrar a resposta.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação diferencial dada:
. Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis, comum em processos de decaimento exponencial. Para resolver, separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto, a função se torna:
Passo 6
Usamos a informação de que após 15 minutos, a massa é 95% do valor inicial:
Substituindo na equação:
Passo 7
Resolvemos para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando
:
Passo 8
Agora, queremos encontrar o tempo
para que a massa seja 20% do valor inicial:
Substituindo na equação:
Passo 9
Resolvemos para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Substituindo o valor de
:
Resposta
O instante de tempo
necessário para que a massa se reduza a 20% do valor inicial é aproximadamente 470,4 minutos.
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