Resolva as seguintes equações nao homogenias
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
com as condições iniciais
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois usar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, precisamos que
.
Passo 3
Resolvendo
:
Então, as raízes são
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para achar
.
Primeiro, quando
:
Derivando
:
Aplicando
:
Derivando novamente:
Aplicando
:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver o sistema. Somando as Equações 2 e 3:
Substituindo
na Equação 3:
Agora, substituindo
e
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações nao homogenias
g)
g)
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
d)
d)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
(e)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(a) .
(a)