Resolva as seguintes equações nao homogenias
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo não homogênea:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando
:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar posteriormente.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Aplicando
:
Passo 9
Substituímos
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
ou simplificando:
Exercícios relacionados
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
d)
d)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Resolva as seguintes equações nao homogenias
i)
i)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)
(e)