Resolva as seguintes equações nao homogenias
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo não homogênea:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica:
Resolvendo para :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Simplificando :
Aqui, e são constantes que vamos determinar posteriormente.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
\quad (1)
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 9

Substituímos na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
ou simplificando:

Exercícios relacionados

Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
d)
Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
Resolva as seguintes equações nao homogenias
i)
Encontre a solução geral das equaçōes:
(e)