Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver: . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que são usadas para modelar várias situações na matemática e na física. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula da integração por partes :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Resolva os PVIs:
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