Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, que são usadas para modelar várias situações na matemática e na física. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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