1.5 Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a) y' - 2 t y = t, y(0) = 1

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem, identificar se a equação é linear e se ela é homogênea. Vamos usar métodos de resolução de equações lineares para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. É uma equação de primeira ordem porque a derivada mais alta é a primeira derivada de y. Ela é linear porque pode ser escrita na forma , onde e . Além disso, como o termo independente Q(t) não é zero, a equação não é homogênea.

Passo 3

Como a equação é linear e não homogênea, podemos resolver usando o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração e, consequentemente, encontrar a solução para y(t).

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos escrever:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a t:
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, usamos uma substituição simples: seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, igualamos os dois lados e resolvemos para y:
Multiplicando ambos os lados por para isolar y:

Passo 8

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C:

Resposta

A solução do PVI é .

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