Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a)
a)
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem, identificar se a equação é linear e se ela é homogênea. Vamos usar métodos de resolução de equações lineares para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. É uma equação de primeira ordem porque a derivada mais alta é a primeira derivada de
. Ela é linear porque pode ser escrita na forma
, onde
e
. Além disso, como o termo independente
não é zero, a equação não é homogênea.
Passo 3
Como a equação é linear e não homogênea, podemos resolver usando o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração e, consequentemente, encontrar a solução para
.
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, igualamos os dois lados e resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do PVI é
.
Exercícios relacionados
Seja a função
. Verificar que
, para todo
.
Uma partícula desloca-se sobre o eixo
, de maneira que, em cada instante
, a sua velocidade é o dobro da sua posição
. Sabendo que
, determinar a posição
e a velocidade
em cada instante
.
b)
Seja
a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva
, abaixo pelo eixos
e pela reta
. Calcular a área da região
.