Uma partícula desloca-se sobre o eixo x, de maneira que, em cada instante t, a sua velocidade é o dobro da sua posição x = x(t). Sabendo que x(0) = 1, determinar a posição x(t) e a velocidade v(t) em cada instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo x. A velocidade dela em qualquer instante t é o dobro da posição x(t) dela. A gente também sabe que, quando t = 0, a posição x(0) é igual a 1. Vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente equações diferenciais, para descobrir como é a posição x(t) e a velocidade v(t) da partícula em qualquer instante t.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado disse para uma equação matemática. A velocidade v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Mas o enunciado também diz que . Então, temos:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição x(t) e sua derivada.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Esse tipo de equação é linear e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos para isolar x de um lado e t do outro:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais ficam assim:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para x(t), vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma nova constante K, então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que foi dada: quando , . Substituindo na equação:
Então, a posição da partícula é:
E a velocidade, que é o dobro da posição, fica:

Resposta

A posição da partícula em qualquer instante t é e a velocidade é .

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