Uma partícula desloca-se sobre o eixo
, de maneira que, em cada instante
, a sua velocidade é o dobro da sua posição
. Sabendo que
, determinar a posição
e a velocidade
em cada instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo
. A velocidade dela em qualquer instante
é o dobro da posição
dela. A gente também sabe que, quando
, a posição
é igual a 1. Vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente equações diferenciais, para descobrir como é a posição
e a velocidade
da partícula em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado disse para uma equação matemática. A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Mas o enunciado também diz que
. Então, temos:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição
e sua derivada.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Esse tipo de equação é linear e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais ficam assim:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
, então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial que foi dada: quando
,
. Substituindo na equação:
Então, a posição da partícula é:
E a velocidade, que é o dobro da posição, fica:
Resposta
A posição da partícula em qualquer instante
é
e a velocidade é
.
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Calcular
(Usar a identidade verificada em (a)).
b)
Seja a função
. Verificar que
, para todo
.
a)