Uma partícula desloca-se sobre o eixo , de maneira que, em cada instante , a sua velocidade é o dobro da sua posição . Sabendo que , determinar a posição e a velocidade em cada instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo . A velocidade dela em qualquer instante é o dobro da posição dela. A gente também sabe que, quando , a posição é igual a 1. Vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente equações diferenciais, para descobrir como é a posição e a velocidade da partícula em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado disse para uma equação matemática. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Mas o enunciado também diz que . Então, temos:
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição e sua derivada.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Esse tipo de equação é linear e pode ser resolvida separando as variáveis. Vamos reorganizar os termos para isolar de um lado e do outro:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais ficam assim:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma nova constante , então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que foi dada: quando , . Substituindo na equação:
Então, a posição da partícula é:
E a velocidade, que é o dobro da posição, fica:

Resposta

A posição da partícula em qualquer instante é e a velocidade é .

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Calcular (Usar a identidade verificada em (a)).
classifique as EDOa) constante
b)
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. Verificar que , para todo .
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a)