Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui: . Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função que satisfaz essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem, linearidade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A gente tem:
Vamos isolar :
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, e parece que dá para separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por :
Agora, a gente tem as variáveis e separadas de lados opostos da igualdade, o que facilita a integração.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados:
Calculando as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Classificação

  • Ordem: Primeira ordem, pois a derivada de primeira ordem está presente.
  • Linearidade: Não linear, já que o termo multiplica a derivada , tornando a equação não linear.
  • Homogeneidade: Não homogênea, pois há termos livres que não dependem de ou .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a)
Seja a função
. Verificar que , para todo .
Seja a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva , abaixo pelo eixos e pela reta . Calcular a área da região .
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
c)