Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função
que satisfaz essa igualdade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem, linearidade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A gente tem:
Vamos isolar
:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, e parece que dá para separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Agora, a gente tem as variáveis
e
separadas de lados opostos da igualdade, o que facilita a integração.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados:
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Classificação
- Ordem: Primeira ordem, pois a derivada de primeira ordem
está presente. - Linearidade: Não linear, já que o termo
multiplica a derivada , tornando a equação não linear. - Homogeneidade: Não homogênea, pois há termos livres que não dependem de
ou .
Exercícios relacionados
a)
Seja a função
. Verificar que
, para todo
.
Seja
a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva
, abaixo pelo eixos
e pela reta
. Calcular a área da região
.
c)