Seja a função
. Verificar que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado diferenciação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais onde os limites são funções de
. Se tivermos uma função assim:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que a derivada depende do valor da função dentro da integral avaliada nos limites superiores e inferiores, multiplicado pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
-
-
, então -
, então
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra de Leibniz:
Substituindo
e
:
Resposta
Então, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Uma partícula desloca-se sobre o eixo
, de maneira que, em cada instante
, a sua velocidade é o dobro da sua posição
. Sabendo que
, determinar a posição
e a velocidade
em cada instante
.
Calcular
(Usar a identidade verificada em (a)).
a)
b)