Seja a função
. Verificar que , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais onde os limites são funções de . Se tivermos uma função assim:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que a derivada depende do valor da função dentro da integral avaliada nos limites superiores e inferiores, multiplicado pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • , então
  • , então

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra de Leibniz:
Substituindo e :

Resposta

Então, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Uma partícula desloca-se sobre o eixo , de maneira que, em cada instante , a sua velocidade é o dobro da sua posição . Sabendo que , determinar a posição e a velocidade em cada instante .
Calcular (Usar a identidade verificada em (a)).
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a)
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
b)