Seja a função
G(x)=integralx^2^x^3 cos (t) d t
. Verificar que G^prime(x)=3 x^2 cos (x^3)-2 x cos (x^2), para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
G(x) = integralx^2^x^3 cos(t) , dt
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais onde os limites são funções de G(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt . Se tivermos uma função assim:
G^prime(x) = f(b(x)) cdot b^prime(x) - f(a(x)) cdot a^prime(x)
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que a derivada depende do valor da função dentro da integral avaliada nos limites superiores e inferiores, multiplicado pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • , então
  • , então

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra de Leibniz:
G^prime(x) = cos(b(x)) cdot b^prime(x) - cos(a(x)) cdot a^prime(x)
Substituindo G^prime(x) = cos(x^3) cdot 3x^2 - cos(x^2) cdot 2x e :

Resposta

Então, a derivada de G^prime(x) = 3x^2 cos(x^3) - 2x cos(x^2) é:

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