Encontre a solução geral das seguintes EDOb.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de primeira ordem para sistemas lineares. O enunciado nos dá a seguinte matriz:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) dessa matriz. Esses conceitos são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais como esse.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz. Os valores próprios são números
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz dada e
é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos calcular a determinante de
:
A determinante é:
Vamos expandir:
Então:
Igualando a zero para encontrar os valores próprios:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Podemos ver que as duas equações são equivalentes, então, escolhemos
, então
. Portanto, um vetor próprio é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Mais uma vez, as equações são equivalentes. Escolhemos
, então
. Portanto, um vetor próprio é:
Passo 5
Com os valores próprios e vetores próprios em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios vezes
:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.
b.
Use o método de variação de parâmetros e encontre a solução geral da EDO
.
Use o método de variação de parâmetros e resolva o problema de valor inicial
sent
.
Encontre a solução geral das seguintes EDOc.