Encontre a solução geral das seguintes EDOb.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de primeira ordem para sistemas lineares. O enunciado nos dá a seguinte matriz:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) dessa matriz. Esses conceitos são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais como esse.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz. Os valores próprios são números que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos calcular a determinante de :
A determinante é:
Vamos expandir:
Então:
Igualando a zero para encontrar os valores próprios:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos ver que as duas equações são equivalentes, então, escolhemos , então . Portanto, um vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Mais uma vez, as equações são equivalentes. Escolhemos , então . Portanto, um vetor próprio é:

Passo 5

Com os valores próprios e vetores próprios em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos valores próprios vezes :
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.
Use o método de variação de parâmetros e encontre a solução geral da EDO .
Use o método de variação de parâmetros e resolva o problema de valor inicial sent .
Encontre a solução geral das seguintes EDOc.