Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. Estamos trabalhando com equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes
com multiplicidade 2. Isso significa que temos raízes reais e iguais.
Passo 4
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito
já está na forma da solução homogênea, precisamos multiplicar por
para garantir a independência linear. Então, tentamos
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso reduz para , o que indica que precisamos ajustar nossa tentativa.
Isso reduz para
Passo 8
Como a primeira tentativa não funcionou, multiplicamos novamente por
e tentamos
.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Passo 10
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso simplifica para . Para que isso seja válido para todo
, temos
, então
.
Isso simplifica para
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(v)
(v)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(s)
(s)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(e)
(e)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(o)
(o)