Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . Estamos trabalhando com equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes com multiplicidade 2. Isso significa que temos raízes reais e iguais.

Passo 4

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é: , onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito já está na forma da solução homogênea, precisamos multiplicar por para garantir a independência linear. Então, tentamos .

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Isso reduz para , o que indica que precisamos ajustar nossa tentativa.

Passo 8

Como a primeira tentativa não funcionou, multiplicamos novamente por e tentamos .

Passo 9

Calculando as derivadas de :

Passo 10

Substituindo na equação original:
Simplificando:

Isso simplifica para . Para que isso seja válido para todo , temos , então .

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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