Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(s)
(s)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem não homogênea. O conteúdo principal envolve encontrar a solução geral dessa equação, que é a combinação da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para equações lineares de segunda ordem, como o de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Consideramos uma solução de tentativa na forma:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é
, que pode ser expresso como
, não é uma função simples para aplicar o método de coeficientes indeterminados diretamente. Portanto, vamos utilizar o método da variação de parâmetros.
Passo 5
No método da variação de parâmetros, assumimos que a solução particular
é uma combinação das soluções da homogênea, mas com coeficientes que variam com
:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de
:
Substituímos
,
e
na equação original.
Passo 7
Após substituir na equação
e simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
:
Para simplificar, assumimos que
, resultando em:
Passo 8
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 9
Integrando
e
, obtemos:
onde
é a constante de integração, que podemos ignorar na solução particular.
Passo 10
Simplificando
:
Passo 11
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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§
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(m)
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(v)
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(b)
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