Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(s)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem não homogênea. O conteúdo principal envolve encontrar a solução geral dessa equação, que é a combinação da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para equações lineares de segunda ordem, como o de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. Consideramos uma solução de tentativa na forma:
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é , que pode ser expresso como , não é uma função simples para aplicar o método de coeficientes indeterminados diretamente. Portanto, vamos utilizar o método da variação de parâmetros.

Passo 5

No método da variação de parâmetros, assumimos que a solução particular é uma combinação das soluções da homogênea, mas com coeficientes que variam com :
Nosso objetivo é encontrar as funções e .

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de :
Substituímos , e na equação original.

Passo 7

Após substituir na equação e simplificar, obtemos um sistema de equações para e :
Para simplificar, assumimos que , resultando em:

Passo 8

Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 9

Integrando e , obtemos:
onde é a constante de integração, que podemos ignorar na solução particular.

Passo 10

Simplificando :

Passo 11

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(v)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(b)