Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(v)

Passo 1

Então, temos aqui a equação diferencial . Vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) procurando a solução geral. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos dividir em duas partes:
  1. Para o termo constante 3:
    Vamos assumir uma solução particular constante . Derivando:
    Substituindo na equação:
    Então, .
  2. Para o termo :
    Já que é solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Vamos assumir:
    Calculando as derivadas:
    Substituindo na equação original:
    Simplificando:
    Parece que precisamos ajustar nossa suposição. Na verdade, devemos assumir:
    Repetindo o processo com essa nova suposição, encontramos . Portanto:

Passo 4

Agora, juntamos as soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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