Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(v)
(v)
Passo 1
Então, temos aqui a equação diferencial
. Vamos resolver essa EDO (Equação Diferencial Ordinária) procurando a solução geral. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Como o discriminante
é zero, temos uma raiz dupla:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos dividir em duas partes:
-
Para o termo constante 3:
Vamos assumir uma solução particular constante. Derivando: Substituindo na equação:Então,. -
Para o termo
:
Já queé solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Vamos assumir: Calculando as derivadas:Substituindo na equação original:Simplificando:Parece que precisamos ajustar nossa suposição. Na verdade, devemos assumir:Repetindo o processo com essa nova suposição, encontramos. Portanto:
Passo 4
Agora, juntamos as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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(s)
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(e)
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