Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares não homogêneas e como resolver usando métodos como o da solução complementar e da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Isso é importante porque a solução geral da EDO será a soma da solução complementar (homogênea) e da solução particular (não homogênea).
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas, ou seja,
, a solução complementar (homogênea) será:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular (
) da EDO não homogênea:
Observamos que o termo do lado direito,
, já aparece na solução complementar. Isso significa que precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar a duplicidade. Assim, fazemos:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na EDO original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos
e
, obtemos um sistema de equações para
e
.
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
Passo 9
Assim, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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(e)
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(b)
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(w)
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(d)
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