Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(o)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares não homogêneas e como resolver usando métodos como o da solução complementar e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Isso é importante porque a solução geral da EDO será a soma da solução complementar (homogênea) e da solução particular (não homogênea).

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas, ou seja, , a solução complementar (homogênea) será:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ( ) da EDO não homogênea:
Observamos que o termo do lado direito, , já aparece na solução complementar. Isso significa que precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar a duplicidade. Assim, fazemos:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na EDO original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos e , obtemos um sistema de equações para e .

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações, encontramos:

Passo 9

Assim, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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(e)
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(b)
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(w)
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(d)