Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
A gente monta a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Com raízes complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução do tipo:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos parecidos, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea (
) e da solução particular (
):
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(w)
(w)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(o)
(o)
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs: