Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
A gente monta a equação característica associada:
Resolvendo para :
Com raízes complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução do tipo:
Onde e são constantes que vamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos parecidos, encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea ( ) e da solução particular ( ):

Resposta

A solução geral da EDO é:

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(w)
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(o)
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