Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde elas se tornam mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, calculamos as transformadas dos termos do lado direito:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Vamos fatorar no lado esquerdo:
Agora, isolamos :
Passo 5
Para simplificar, vamos fatorar o denominador quadrático:
Isso ajuda a usar a tabela de transformadas de Laplace para inversão.
Passo 6
Agora, reescrevemos com o denominador fatorado:
Para cada termo, vamos aplicar a decomposição em frações parciais ou usar transformadas conhecidas para encontrar a inversa.
Passo 7
Após resolver as frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, obtemos a solução no domínio do tempo: