Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde elas se tornam mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, calculamos as transformadas dos termos do lado direito:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Vamos fatorar no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para simplificar, vamos fatorar o denominador quadrático:
Isso ajuda a usar a tabela de transformadas de Laplace para inversão.

Passo 6

Agora, reescrevemos com o denominador fatorado:
Para cada termo, vamos aplicar a decomposição em frações parciais ou usar transformadas conhecidas para encontrar a inversa.

Passo 7

Após resolver as frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, obtemos a solução no domínio do tempo:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(d)
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs: