Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da EDO homogênea e de uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, usamos a equação característica: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes. Calculando o discriminante:
Como , temos raízes reais e iguais:

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma soma de funções trigonométricas, a solução particular também será a soma das soluções particulares para cada termo.

Passo 6

Primeiro, consideramos o termo . Assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos:

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 9

Agora, consideramos o termo . Assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos:

Passo 10

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 11

Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 12

A solução particular total é a soma de e :

Passo 13

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

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