Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(w)
(w)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da EDO homogênea e de uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, usamos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes. Calculando o discriminante:
Como
, temos raízes reais e iguais:
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é uma soma de funções trigonométricas, a solução particular também será a soma das soluções particulares para cada termo.
Passo 6
Primeiro, consideramos o termo
. Assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 9
Agora, consideramos o termo
. Assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos:
Passo 10
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 11
Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 12
A solução particular total é a soma de
e
:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
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(o)
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(e)
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(d)
(d)
Calcule as transformadas de Laplace inversas: