Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente às EDOs lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução vai depender das raízes da equação característica.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá
. Resolvendo para
, temos:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
. Como o lado direito é um cosseno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
dos dois lados da equação:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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