Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente às EDOs lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral da solução vai depender das raízes da equação característica.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo por , o que nos dá . Resolvendo para , temos:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Como o lado direito é um cosseno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e dos dois lados da equação:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Finalmente, somamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(i)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(f)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(s)