Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do tipo linear de segunda ordem:
. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução homogênea e uma solução particular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução homogênea, vamos montar a equação característica.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo
por
na EDO homogênea:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Fatorando a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução homogênea da EDO:
Simplificando
, temos:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular (
) da EDO não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), vamos supor uma solução particular da forma:
onde
,
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na EDO original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Isso não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial para
está incompleta.
Passo 10
Quando a solução tentativa não inclui todos os termos necessários, multiplicamos por
para obter uma solução particular adequada. Assim, tentamos:
Passo 11
Encontrando as derivadas de
atualizada:
Passo 12
Substituindo na EDO original:
Simplificando:
Passo 13
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 14
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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