Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do tipo linear de segunda ordem: . Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução homogênea e uma solução particular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução homogênea, vamos montar a equação característica.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo por na EDO homogênea:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Fatorando a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução homogênea da EDO:
Simplificando , temos:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular ( ) da EDO não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
onde , e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na EDO original:
Simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para :
Isso não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial para está incompleta.

Passo 10

Quando a solução tentativa não inclui todos os termos necessários, multiplicamos por para obter uma solução particular adequada. Assim, tentamos:

Passo 11

Encontrando as derivadas de atualizada:

Passo 12

Substituindo na EDO original:
Simplificando:

Passo 13

Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 14

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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