Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação com derivadas de e umas funções exponenciais no lado direito. Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e nas funções exponenciais para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é e de é , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando isso na equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com e os termos constantes:
Simplificando os constantes:

Passo 4

Vamos isolar :
Para facilitar, vamos fatorar o denominador como :

Passo 5

Agora, precisamos fazer frações parciais para cada termo. Vamos começar com a primeira fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de para achar :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo para a segunda fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de para achar :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 7

Agora, para a terceira fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 8

Agora, juntando todas as partes:
Vamos somar os termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
Então:

Passo 9

Agora, vamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Então, juntando tudo:

Resposta

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Calcule:
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(h)