Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação com derivadas de e umas funções exponenciais no lado direito. Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e nas funções exponenciais para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é e de é , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando isso na equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com e os termos constantes:
Simplificando os constantes:
Passo 4
Vamos isolar :
Para facilitar, vamos fatorar o denominador como :
Passo 5
Agora, precisamos fazer frações parciais para cada termo. Vamos começar com a primeira fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de para achar :
Para : →
Para : →
Para : →
Então:
Passo 6
Vamos repetir o processo para a segunda fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de para achar :
Para : →
Para : →
Para : →
Então:
Passo 7
Agora, para a terceira fração:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de :
Para : →
Para : →
Então:
Passo 8
Agora, juntando todas as partes:
Vamos somar os termos semelhantes:
Termos com :
Termos com :
Termos com :
Termos com :
Então:
Passo 9
Agora, vamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :