Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação que temos é:
Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
A gente faz isso encontrando os valores de
que satisfazem a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes iguais:
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é
e
já aparece na solução homogênea, vamos multiplicar por
para propor uma forma adequada para
:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Distribuindo o -4:
Agrupando os termos semelhantes:
-
: -
: - Constante:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Simplificando:
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