Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§ y'' - 4y' + 4y = (x + 1)e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação que temos é:
Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
A gente faz isso encontrando os valores de r que satisfazem a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes iguais:

Passo 3

Com a raiz dupla , a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o lado direito é e já aparece na solução homogênea, vamos multiplicar por x para propor uma forma adequada para :
Onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 6

Substituindo , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Distribuindo o -4:
Agrupando os termos semelhantes:
  • :
  • x:
  • Constante:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo com x:
Para o termo constante:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Simplificando:

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