Encontre a solução geral das seguintes EDO x^prime=(ll3 & -2 2 & -2) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo , onde é uma matriz 2x2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas lineares de EDOs.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I = 3 - lambda & -2 2 & -2 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-2 - lambda) - (-2)(2)
Simplificando:
= (3 - lambda)(-2 - lambda) + 4
= (-6 - 3lambda + 2lambda + lambda^2) + 4
= lambda^2 - lambda - 6 + 4
= lambda^2 - lambda - 2

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 para encontrar os autovalores:
lambda1 = 2 e lambda2 = -1
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Com os autovalores encontrados, agora vamos determinar os autovetores correspondentes a cada 1 & -2 2 & -4 v1 v2 = 0 0 .
Para 2 1 :
Resolvemos 4 & -2 2 & -1 v1 v2 = 0 0 :
1 2
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos

Passo 7

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs:
x(t) = c1 e^2t 2 1 + c2 e^-t 1 2
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO 3 & -2 2 & -2 é:
x(t) = c1 e^2t 2 1 + c2 e^-t 1 2
Onde e são constantes arbitrárias.

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