Encontre a solução geral das seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo , onde é uma matriz 2x2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas lineares de EDOs.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Com os autovalores encontrados, agora vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos

Passo 7

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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