Encontre a solução geral das seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
, onde
é uma matriz 2x2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas lineares de EDOs.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os autovalores:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Com os autovalores encontrados, agora vamos determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos
Passo 7
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.