Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo , onde é uma matriz 2x2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, e aplicar métodos para resolver sistemas lineares de EDOs.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Com os autovalores encontrados, agora vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Passo 7
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.