Verifique se o conjunto solução do sistema é um subespaço vetorial do R^3.
Passo 1
Então, a gente vai verificar se as soluções do sistema de equações
c x - y + z = 2 2x + 4y - z = 0 x - 2y - z = 1
formam um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero 0 - 0 + 0 = 0 (Esperado: 2) 2(0) + 4(0) - 0 = 0 (Esperado: 0) 0 - 2(0) - 0 = 0 (Esperado: 1) está no conjunto solução. Isso é importante porque todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero.
Substituindo , e nas equações do sistema:
Vemos que a primeira e a terceira equações não são satisfeitas pelo vetor zero, pois e .
Passo 3
Já que o vetor zero não pertence ao conjunto solução do sistema, não precisamos verificar as outras propriedades. A ausência do vetor zero já é suficiente para concluiirmos que o conjunto não é um subespaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto solução do sistema não é um subespaço vetorial de , pois o vetor zero não está incluído nele.