O sistema homogêneo , pode ser escrito na forma matricial como A cdot X=0, onde A in M(m, n) e X inM(n, 1). Mostre o conjunto solução do sistema homogêneo A cdot X=0 é um subespaço vetorial de R^n.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que o conjunto solução do sistema homogêneo é um subespaço vetorial de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a parte de sistemas lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se o conjunto solução satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço vetorial se:
O vetor zero está em .
Se e estão em , então também está em .
Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto solução do sistema .
Passo 3
1. O vetor zero está no conjunto solução:
Se substituirmos A cdot 0 = 0 na equação , teremos:
Isso é verdade, então o vetor zero está no conjunto solução.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos considerar dois vetores A cdot (X + Y) = A cdot X + A cdot Y = 0 + 0 = 0 e que são soluções do sistema, ou seja, e . Queremos mostrar que também é uma solução.
Calculando:
Então, está no conjunto solução.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor A cdot (c cdot X) = c cdot (A cdot X) = c cdot 0 = 0 que é solução, ou seja, , e um escalar . Queremos mostrar que também é uma solução.
Calculando:
Assim, está no conjunto solução.
Resposta
Como o conjunto solução do sistema homogêneo contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que ele é, de fato, um subespaço vetorial de .