O sistema homogêneo ca11 x1+a12 x2+ldots a1 n xn=0 a21 x1+a22 x2+ldots a2 n xn=0 vdots am 1 x1+am 2 x2+ldots am n xn=0, pode ser escrito na forma matricial como A cdot X=0, onde A in M(m, n) e X in M(n, 1). Mostre o conjunto solução do sistema homogêneo A cdot X=0 é um subespaço vetorial de R^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que o conjunto solução do sistema homogêneo é um subespaço vetorial de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a parte de sistemas lineares e subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se o conjunto solução satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço vetorial se:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto solução do sistema .

Passo 3

1. O vetor zero está no conjunto solução:
Se substituirmos A cdot 0 = 0 na equação , teremos:
Isso é verdade, então o vetor zero está no conjunto solução.

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos considerar dois vetores A cdot (X + Y) = A cdot X + A cdot Y = 0 + 0 = 0 e que são soluções do sistema, ou seja, e . Queremos mostrar que também é uma solução.
Calculando:
Então, está no conjunto solução.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor A cdot (c cdot X) = c cdot (A cdot X) = c cdot 0 = 0 que é solução, ou seja, , e um escalar . Queremos mostrar que também é uma solução.
Calculando:
Assim, está no conjunto solução.

Resposta

Como o conjunto solução do sistema homogêneo contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que ele é, de fato, um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados