Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Nessa questão, queremos encontrar a solução geral da equação diferencial . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos para encontrar soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Observamos que essa equação pode ser escrita na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação, temos:
Aqui, e .

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial linear, usamos o fator integrante , que é dado por:
Calculamos a integral de :
Fazendo uma substituição , temos , então a integral se torna:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva a equação .