Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Nessa questão, queremos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos para encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Observamos que essa equação pode ser escrita na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação, temos:
Aqui,
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial linear, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Calculamos a integral de
:
Fazendo uma substituição
, temos
, então a integral se torna:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva a equação
.