Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: . Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 5

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos rearranjar para deixar mais apresentável:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Encontre a solução geral das seguintes equações:
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, onde .
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva a equação .