Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 5
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos rearranjar para deixar mais apresentável:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações:
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites,
onde
.
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva a equação
.