Resolva as equações diferenciais abaixo: (y^2 - x) dx + (2xy) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: . Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a x:
Aqui, é uma função que depende apenas de y. Agora, derivamos em relação a y e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de C.

Passo 5

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos rearranjar para deixar mais apresentável:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante.

Exercícios relacionados