Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar o método apropriado, que envolve encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares. A forma padrão é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora se torna a derivada de em relação a :

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, onde .
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
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