Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de equação e aplicar o método apropriado, que envolve encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais lineares. A forma padrão é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora se torna a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites,
onde
.
Encontre a solução geral das seguintes equações:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das seguintes equações: