Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quinta ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, com elas, montar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Fazemos isso substituindo cada derivada de
por
, onde
é a ordem da derivada. Então, nossa equação fica:
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos tentar encontrar as raízes da equação característica:
Para facilitar, vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Então,
é uma raiz.
Passo 4
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fatorar
da equação característica usando divisão polinomial ou sintética.
Dividindo o polinômio por
, obtemos:
Então, agora precisamos resolver:
Passo 5
Vamos tentar encontrar outra raiz racional para o polinômio resultante
.
Testando
:
Então,
é outra raiz.
Passo 6
Agora, vamos fatorar
do polinômio
:
Precisamos resolver agora:
Passo 7
Vamos novamente testar possíveis raízes racionais para
.
Testando
:
Então,
é mais uma raiz.
Passo 8
Fatorando
do polinômio
:
Agora, resolvemos:
Passo 9
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 10
Agora, juntando todas as raízes que encontramos:
-
(multiplicidade 2), -
(multiplicidade 2), -
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.