Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^(5) + 5 y^(4) - 2 y''' - 10 y'' + y' + 5 y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quinta ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, com elas, montar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Fazemos isso substituindo cada derivada de por , onde é a ordem da derivada. Então, nossa equação fica:
Agora, precisamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos tentar encontrar as raízes da equação característica:
Para facilitar, vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. Aqui, possíveis raízes são .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar da equação característica usando divisão polinomial ou sintética.
Dividindo o polinômio por , obtemos:
Então, agora precisamos resolver:

Passo 5

Vamos tentar encontrar outra raiz racional para o polinômio resultante .
Testando :
Então, é outra raiz.

Passo 6

Agora, vamos fatorar do polinômio :
Precisamos resolver agora:

Passo 7

Vamos novamente testar possíveis raízes racionais para .
Testando :
Então, é mais uma raiz.

Passo 8

Fatorando do polinômio :
Agora, resolvemos:

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 10

Agora, juntando todas as raízes que encontramos:
  • (multiplicidade 2),
  • (multiplicidade 2),
  • .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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