Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
;
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem:
E precisamos verificar se as funções dadas formam um conjunto completo de soluções para essa EDO. Depois, vamos escrever a solução geral e resolver o problema com as condições iniciais fornecidas:
As funções fornecidas são:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito para garantir que tudo fique claro!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se cada uma das funções dadas realmente satisfaz a equação diferencial
. Isso significa que, para cada
, precisamos calcular suas derivadas até a quarta ordem e ver se a equação é satisfeita.
Vamos calcular para cada função:
-
Para
: Substituindo na EDO: -
-
Para
: Substituindo na EDO: -
-
Para
: Substituindo na EDO: -
-
Para
: Substituindo na EDO: -
Vimos que todas as quatro funções satisfazem a equação diferencial dada. Isso nos mostra que elas são soluções da EDO.
Passo 3
Agora que sabemos que todas as funções dadas são soluções da EDO, precisamos entender o que significa
. Em termos simples, um conjunto completo de soluções para uma EDO de quarta ordem garante que qualquer solução da EDO pode ser expressa como uma combinação linear dessas funções.
Nossa EDO é de quarta ordem, o que significa que precisamos de quatro soluções lineares independentes para formar a solução geral. Como temos quatro funções que satisfazem a EDO, e elas são lineares e independentes, podemos concluir que essas funções formam um conjunto completo de soluções para a EDO.
Passo 4
Vamos escrever a solução geral da EDO usando essas quatro funções. A solução geral é uma combinação linear das soluções particulares, ou seja:
Substituindo as funções dadas:
Simplificando:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os valores das constantes
e
. As condições dadas são:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais em
:
-
Para
: Sabemos quee , então: -
Para
: Sabendo quee : -
Para
: Novamente,e : -
Para
: Come :
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido:
De (4):
De (2):
De (3):
De (1):
Então, encontramos os valores das constantes:
Resposta
Substituindo as constantes encontradas na solução geral:
Simplificando:
Essa é a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial dado.
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São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo
. Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
.
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo
. Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
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Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
.
Utilizando o método de redução de ordem, determine a solução geral das EDOs abaixo:
, sabendo que
é solução;