Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
y'''' + y'' = 0
y(pi) = 0, y' (pi) = 0, y'' (pi) = 1, y''' (pi) = 0;
y1(x) = 1, y2(x) = x, y3(x) = sen x, y4(x) = cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem:
E precisamos verificar se as funções dadas formam um conjunto completo de soluções para essa EDO. Depois, vamos escrever a solução geral e resolver o problema com as condições iniciais fornecidas:
As funções fornecidas são:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito para garantir que tudo fique claro!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada uma das funções dadas realmente satisfaz a equação diferencial . Isso significa que, para cada , precisamos calcular suas derivadas até a quarta ordem e ver se a equação é satisfeita.
Vamos calcular para cada função:
  1. Para :
    Substituindo na EDO:
  2. Para :
    Substituindo na EDO:
  3. Para :
    Substituindo na EDO:
  4. Para :
    Substituindo na EDO:
Vimos que todas as quatro funções satisfazem a equação diferencial dada. Isso nos mostra que elas são soluções da EDO.

Passo 3

Agora que sabemos que todas as funções dadas são soluções da EDO, precisamos entender o que significa çõ. Em termos simples, um conjunto completo de soluções para uma EDO de quarta ordem garante que qualquer solução da EDO pode ser expressa como uma combinação linear dessas funções.
Nossa EDO é de quarta ordem, o que significa que precisamos de quatro soluções lineares independentes para formar a solução geral. Como temos quatro funções que satisfazem a EDO, e elas são lineares e independentes, podemos concluir que essas funções formam um conjunto completo de soluções para a EDO.

Passo 4

Vamos escrever a solução geral da EDO usando essas quatro funções. A solução geral é uma combinação linear das soluções particulares, ou seja:
Substituindo as funções dadas:
Simplificando:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os valores das constantes e . As condições dadas são:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais em :
  1. Para :
    Sabemos que e , então:
  2. Para :
    Sabendo que e :
  3. Para :
    Novamente, e :
  4. Para :
    Com e :

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações obtido:
De (4):
De (2):
De (3):
De (1):
Então, encontramos os valores das constantes:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na solução geral:
Simplificando:
Essa é a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial dado.

Exercícios relacionados

São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x) = 5, f2(x) = sen^2(x), f3(x) = cos(2x).
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(t) = 2t - 3, f2(t) = 2t^2 + 1, f3(t) = 3t^2 + t;
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^(5) + 5 y^(4) - 2 y''' - 10 y'' + y' + 5 y = 0.
Utilizando o método de redução de ordem, determine a solução geral das EDOs abaixo:
(2-t) y''' + (2t-3) y'' - t y' + y = 0, t < 2, sabendo que y1(t) = e^t é solução;