São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo . Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções: , e . A missão é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo de todos os números reais usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Wronskiano. É uma ferramenta matemática que nos ajuda a verificar a independência linear de um conjunto de funções. Para três funções, o Wronskiano é o determinante de uma matriz formada pelas funções e suas primeiras duas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes. Se for zero em todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de cada função:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Com as derivadas prontas, vamos montar a matriz do Wronskiano e calcular o determinante:
Para calcular o determinante dessa matriz, podemos expandir pela primeira linha:
Observando que os dois últimos determinantes têm linhas de zeros, eles serão iguais a zero. Portanto:
Passo 5
O Wronskiano deu zero para todo , isso indica que as funções são linearmente dependentes no intervalo .
Passo 6
Como as funções são linearmente dependentes, uma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Vamos encontrar essa relação.
Observando as funções, sabemos que:
Então podemos escrever:
Resposta
As funções são linearmente dependentes no intervalo . A função pode ser escrita como combinação linear das outras: