São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x) = 5, f2(x) = sen^2(x), f3(x) = cos(2x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções: , e . A missão é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo de todos os números reais usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Wronskiano. É uma ferramenta matemática que nos ajuda a verificar a independência linear de um conjunto de funções. Para três funções, o Wronskiano é o determinante de uma matriz formada pelas funções e suas primeiras duas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes. Se for zero em todo o intervalo, elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de cada função:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Com as derivadas prontas, vamos montar a matriz do Wronskiano e calcular o determinante:
Para calcular o determinante dessa matriz, podemos expandir pela primeira linha:
Observando que os dois últimos determinantes têm linhas de zeros, eles serão iguais a zero. Portanto:

Passo 5

O Wronskiano deu zero para todo , isso indica que as funções são linearmente dependentes no intervalo .

Passo 6

Como as funções são linearmente dependentes, uma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Vamos encontrar essa relação.
Observando as funções, sabemos que:
Então podemos escrever:

Resposta

As funções são linearmente dependentes no intervalo . A função pode ser escrita como combinação linear das outras:

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São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(t) = 2t - 3, f2(t) = 2t^2 + 1, f3(t) = 3t^2 + t;
(f) 4^(2^(8^x)) = 256
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
y'''' + y'' = 0
y(pi) = 0, y' (pi) = 0, y'' (pi) = 1, y''' (pi) = 0;
y1(x) = 1, y2(x) = x, y3(x) = sen x, y4(x) = cos(x).
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^(5) + 5 y^(4) - 2 y''' - 10 y'' + y' + 5 y = 0.