O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde está em miligramas e em anos.
Determine a meia-vida do plutônio 241 .

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre o decaimento radioativo do plutônio-241. Isso faz parte da Física, mais especificamente do estudo de processos de decaimento nuclear. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem como a quantidade de material radioativo diminui com o tempo.

Passo 2

A equação diferencial que descreve o decaimento do plutônio-241 é:
Aqui, é a quantidade de plutônio em miligramas e é o tempo em anos. Essa equação nos diz que a taxa de mudança da quantidade de plutônio é proporcional à quantidade atual, com uma constante de proporcionalidade de .

Passo 3

Sabemos que esse tipo de equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem e sua solução geral é uma função exponencial. A solução para a equação:
é:
Onde:
  • é a quantidade de plutônio no tempo ,
  • é a quantidade inicial de plutônio,
  • é a constante de decaimento (neste caso, ).

Passo 4

A meia-vida ( ) é o tempo que leva para a quantidade de plutônio diminuir pela metade. Matematicamente, queremos encontrar tal que:
Substituindo na solução geral:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Para resolver para , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Simplificando os sinais:

Passo 6

Finalmente, isolamos :
Substituindo :
Calculando:

Resposta

A meia-vida do plutônio-241 é aproximadamente 13,2 anos.

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