O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Determine a meia-vida
do plutônio 241 .
Determine a meia-vida
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício sobre o decaimento radioativo do plutônio-241. Isso faz parte da Física, mais especificamente do estudo de processos de decaimento nuclear. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem como a quantidade de material radioativo diminui com o tempo.
Passo 2
A equação diferencial que descreve o decaimento do plutônio-241 é:
Aqui,
é a quantidade de plutônio em miligramas e
é o tempo em anos. Essa equação nos diz que a taxa de mudança da quantidade de plutônio é proporcional à quantidade atual, com uma constante de proporcionalidade de
.
Passo 3
Sabemos que esse tipo de equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem e sua solução geral é uma função exponencial. A solução para a equação:
é:
Onde:
-
é a quantidade de plutônio no tempo , -
é a quantidade inicial de plutônio, -
é a constante de decaimento (neste caso, ).
Passo 4
A meia-vida (
) é o tempo que leva para a quantidade de plutônio diminuir pela metade. Matematicamente, queremos encontrar
tal que:
Substituindo na solução geral:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver para
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Substituindo
:
Calculando:
Resposta
A meia-vida do plutônio-241 é aproximadamente 13,2 anos.
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é solução da equação diferencial.
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.
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600 milhões de habitantes
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.