Suponha que a população da Terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante
(1650 d.C.) a população da Terra era de
600 milhões de habitantes
e que no instante
(1950 d.C.) era de 2,8 bilhões
.
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes
, quando será atingido este limite?
600 milhões de habitantes
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. A população da Terra está crescendo a uma taxa proporcional à população atual, ou seja, é um crescimento exponencial. Sabemos que em 1650 (t = 0) havia 600 milhões de habitantes e em 1950 (t = 300) havia 2,8 bilhões. Queremos descobrir quando a população alcançará o limite máximo de 25 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de crescimento exponencial e trabalhar com logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que representa o crescimento populacional:
Onde:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial, -
é a constante de crescimento, -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que em
(1650 d.C.), a população era de 600 milhões (
). Substituindo na equação:
Isso confirma que a equação está correta.
Passo 4
No segundo ponto, em
(1950 d.C.), a população era de 2,8 bilhões (
). Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos isolar
para encontrar a constante de crescimento:
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para
:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos
, usamos a equação para encontrar o tempo
quando a população será de 25 bilhões (
):
Passo 7
Isolando
:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando:
Resposta
O limite de 25 bilhões de habitantes será atingido aproximadamente no ano 2377 d.C.
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