Suponha que a população da Terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. Calcula-se que no instante t = 0 (1650 d.C.) a população da Terra era de
600 milhões de habitantes 6,0 x 10^8 e que no instante t = 300 (1950 d.C.) era de 2,8 bilhões 2,8 * 10^9.
Supondo que a maior população que a Terra é capaz de suportar seja 25 bilhões de habitantes 2,5 * 10^10, quando será atingido este limite?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. A população da Terra está crescendo a uma taxa proporcional à população atual, ou seja, é um crescimento exponencial. Sabemos que em 1650 (t = 0) havia 600 milhões de habitantes e em 1950 (t = 300) havia 2,8 bilhões. Queremos descobrir quando a população alcançará o limite máximo de 25 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de crescimento exponencial e trabalhar com logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que representa o crescimento populacional:
Onde:
  • é a população no tempo ,
  • é a população inicial,
  • é a constante de crescimento,
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que em (1650 d.C.), a população era de 600 milhões ( ). Substituindo na equação:
Isso confirma que a equação está correta.

Passo 4

No segundo ponto, em (1950 d.C.), a população era de 2,8 bilhões ( ). Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos isolar para encontrar a constante de crescimento:
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para resolver para :
Calculando:

Passo 6

Agora que temos , usamos a equação para encontrar o tempo quando a população será de 25 bilhões ( ):

Passo 7

Isolando :
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando:

Resposta

O limite de 25 bilhões de habitantes será atingido aproximadamente no ano 2377 d.C.

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