Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver, tipo equações lineares. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar certinho no formato de Bernoulli. A equação original está assim:
Podemos reescrever isso como:
Agora, fica mais claro que temos uma equação de Bernoulli onde
,
e
.
Passo 3
Em uma equação de Bernoulli da forma
, a gente faz uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 5
Substituindo
na equação original usando a expressão de
:
Vamos reorganizar essa expressão para isolar
:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Para resolver a integral, percebemos que é complicada, mas podemos expressar a solução formalmente:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Então, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(b) ;
(b)
(2,0 p)- Sobre sequências de funções:
b) Mostre que se é uma sequência de funções contínuas no intevalo fechado
que converge uniformemente para
neste intervalo então
b) Mostre que se
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.