Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver, tipo equações lineares. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar certinho no formato de Bernoulli. A equação original está assim:
Podemos reescrever isso como:
Agora, fica mais claro que temos uma equação de Bernoulli onde , e .

Passo 3

Em uma equação de Bernoulli da forma , a gente faz uma substituição para simplificar. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação original usando a expressão de :
Vamos reorganizar essa expressão para isolar :

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver essa, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Para resolver a integral, percebemos que é complicada, mas podemos expressar a solução formalmente:

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Então, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de até
(b) ;
(2,0 p)- Sobre sequências de funções:
b) Mostre que se é uma sequência de funções contínuas no intevalo fechado que converge uniformemente para neste intervalo então
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.