Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação de Euler-Cauchy. Essa é uma equação diferencial muito usada quando as variáveis aparecem multiplicadas pelas derivadas. A equação que temos é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de equações diferenciais ordinárias e entender como trabalhar com equações que têm essa forma especial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Euler-Cauchy tem a forma geral:
Nossa equação se encaixa aqui com e .

Passo 3

A estratégia para resolver esse tipo de equação é assumir que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa descobrir. Então, vamos substituir na equação original.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada:
  • A segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:
  • O primeiro termo:
  • O segundo termo:
  • O terceiro termo já está simplificado:

Passo 6

Agora, nossa equação fica:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, podemos focar na parte que está dentro dos parênteses:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la para encontrar os valores de .

Passo 8

A equação quadrática é:
Podemos fatorar:
Isso significa que temos uma raiz dupla:

Passo 9

Como temos uma raiz dupla ( ), a solução geral da equação de Euler-Cauchy será:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Se converge e diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo ? Justifique sua resposta.
Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo: