Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação de Euler-Cauchy. Essa é uma equação diferencial muito usada quando as variáveis aparecem multiplicadas pelas derivadas. A equação que temos é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de equações diferenciais ordinárias e entender como trabalhar com equações que têm essa forma especial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Euler-Cauchy tem a forma geral:
Nossa equação se encaixa aqui com
e
.
Passo 3
A estratégia para resolver esse tipo de equação é assumir que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Então, vamos substituir
na equação original.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
-
A primeira derivada:
-
A segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
-
O primeiro termo:
-
O segundo termo:
-
O terceiro termo já está simplificado:
Passo 6
Agora, nossa equação fica:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, podemos focar na parte que está dentro dos parênteses:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la para encontrar os valores de
.
Passo 8
A equação quadrática é:
Podemos fatorar:
Isso significa que temos uma raiz dupla:
Passo 9
Como temos uma raiz dupla (
), a solução geral da equação de Euler-Cauchy será:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo: