Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, ou seja, uma soma que vai de
até o infinito:
O assunto aqui é séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar saber como verificar se uma série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma série convergir ou diverge. Uma série converge se a soma das suas parcelas tende a um limite específico conforme adicionamos mais termos. Se não houver esse limite, a série diverge.
Passo 3
Para saber se a nossa série converge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a nossa série com outra conhecida, para ver se elas se comportam de maneira similar.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com a série harmônica, que é:
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma para um número finito.
Passo 5
Observando a nossa série:
À medida que
cresce,
se torna muito pequeno, então a fração se aproxima de
. Isso significa que a nossa série se comporta de maneira semelhante à série harmônica quando
é grande.
Passo 6
Como a série harmônica diverge e a nossa série é comparável a ela para grandes valores de
, podemos concluir pelo Teste da Comparação que:
também diverge.
Resposta
A série
diverge, ou seja, não soma para um número finito.
Exercícios relacionados
Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo: