sumn=1^infty nn^2+3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, ou seja, uma soma que vai de sumn=1^infty nn^2+3 até o infinito:
O assunto aqui é séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar saber como verificar se uma série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma série convergir ou diverge. Uma série converge se a soma das suas parcelas tende a um limite específico conforme adicionamos mais termos. Se não houver esse limite, a série diverge.

Passo 3

Para saber se a nossa série converge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a nossa série com outra conhecida, para ver se elas se comportam de maneira similar.

Passo 4

Vamos comparar nossa série com a série harmônica, que é:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma para um número finito.

Passo 5

Observando a nossa série:
nn^2+3 = 1n + 3n
À medida que cresce, se torna muito pequeno, então a fração se aproxima de . Isso significa que a nossa série se comporta de maneira semelhante à série harmônica quando é grande.

Passo 6

Como a série harmônica diverge e a nossa série é comparável a ela para grandes valores de sumn=1^infty nn^2+3 , podemos concluir pelo Teste da Comparação que:
também diverge.

Resposta

A série diverge, ou seja, não soma para um número finito.

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